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Neues aus der Welt der Wissenschaft |
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Vereinfacht: Problem mathematischer Singularitäten |
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| | | Forschern der Uni Innsbruck ist ein Durchbruch auf dem Gebiet der algebraischen Geometrie gelungen. Sie konnten einen der schwersten Beweise der Mathematik auf radikale Weise vereinfachen. |
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Die Gruppe um Herwig Hauser vom Institut für Mathematik beschäftigte sich erfolgreich mit "Hironaka`s Auflösung von Singularitäten". Neben Publikationen in den mathematischen Fachzeitschriften ("Bulletin of the American Mathematical Society", "Commentarii Mathematici Helvetici") gibt es auch Einladungen zu Vorträgen und Forschungsaufhalten in den USA.
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Die Studie "The Hironaka Theorem on Resolution of Singularities" ist in "Bulletin of the American Mathematical Society" (Bd. 40, S. 323, Ausgabe vom 6. Mai 2003) erschienen. |
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 Die Original-Studie |
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Untersuchung von Singularitäten |
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Seit mehreren Jahren beschäftigt sich die Gruppe um Herwig Hauser mit der Untersuchung von Singularitäten. Die theoretischen Hintergründe dazu hat in den 60er Jahren der japanische Mathematiker Heisuke Hironaka mit einem über 200 Seiten dicken mathematischen Beweis revolutioniert und dafür sogar 1970 die Fields-Medaille erhalten.
Hauser und sein Team am Institut für Mathematik haben diesen radikal auf ein Zehntel gekürzt und transparent strukturiert. Der Beweis selber hat nur noch fünf Seiten.
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Mathematische Singularitäten
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Varietäten mit Singularitäten
Singularitäten im mathematischen Sinne sind geometrische Gebilde, etwa Kurven oder Flächen oder aber auch höher dimensionale Objekte, die in den meisten Punkten glatt und gleichmäßig sind, wie das Kabel einer Hochspannungsleitung, ein Zirkuszelt, eine Eistüte.
In einzelnen Punkten - eben den Singularitäten - kann diese Glattheit gestört sein: Die Hochspannungsleitung hat an der Aufhängung am Masten eine Singularität, das Zirkuszelt hat Spitzen und Kanten, die Eistüte läuft unten spitz und kegelförmig zusammen.
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Hironakas Auflösung von Singularitäten
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Die singuläre Kurve in der Ebene ist der Schatten einer Raumkurve ohne Singularitäten
Die Auflösung von Singularitäten besagt, dass jedes Gebilde mit Singularitäten der Schatten eines glatten Gebildes ist, als eines ohne Singularitäten. Umgekehrt formuliert: Singularitäten entstehen, wenn von hoch-dimensionalen Räumen in nieder-dimensionale Räume projiziert wird.
Animiertes Gif (Uni Innsbruck)
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Das Ergebnis der Forschung - ein Nebenprodukt |
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Ein Ausnahmefall dieses Beweises sollte untersucht werden, dafür musste aber erst Hironaka`s Beweis selbst verstanden werden. Die ersten Konstruktionen im Beweis wurden verbessert - "... komplizierter, aber umso schlagkräftiger gemacht", so Hauser im ORF-Radio.
Eine Autobahn könne jetzt damit nicht besser gebaut werden, so Hauser. Dennoch: das ist Grundlagenforschung. Das heißt, sie ist nicht unmittelbar anwendbar, sondern versucht erst einmal die komplizierten theoretischen Sachverhalte zu klären und zu durchleuchten.
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Musterbeispiel einer Beweistechnik |
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Nachdem die Anwendungen dieses Satzes innerhalb der Mathematik so vielfältig sind, ist ein tiefes Verständnis von eminenter Bedeutung.
"Die Beweistechnik ist ein Musterbeispiel, wie man sie in anderen Situationen auch anwenden kann. Insoweit ist der Umstand, dass die Leute das jetzt verstehen können und sehen, wie das funktioniert, sehr wichtig. Das ist eine Vorreiterrolle. Eine neue Technik, eine neue Beweismethode, eine neue Idee strahlen aus - zuerst einmal innerhalb des Gebietes und dann weiter hinaus", so Herwig Hauser.
Und diese Vorreiterrolle soll beibehalten werden. Das vom Wissenschaftsfonds geförderte Projekt wird weiterlaufen.
Kurt Reindl, ORF-Tirol
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01.01.2010 |
