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Neues aus der Welt der Wissenschaft |
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Erstmals Gleichung für das Möbiusband entwickelt |
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| | | Seit seiner Entdeckung beschäftigt das Möbiusband Wissenschaftler und Künstler. Zwei Mathematiker vom University College London haben nun erstmals Gleichungen entwickelt, mit denen man die Form eines Möbiusbandes vorhersagen und am Computer simulieren kann.
Gert van der Hejden und Eugene Starostin sehen aber noch ganz andere Verwendungsmöglichkeiten für das neue mathematische Modell. |
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Die Studie "The shape of a Möbius strip" von E. L. Starostin und G. H. M. van der Heijden ist bei "Nature Materials" online erschienen (doi: 10.1038/nmat1929; 15.7.07). |
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 Zum Abstract |
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Möbiusschleife zum Selberbasteln
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Man nehme ein längliches Stück Papier, drehe ein Ende um 180 Grad und hefte die beiden Enden dann zusammen. Fertig ist das Möbiusband.
Nicht gerade spektakulär? Dann fahren Sie doch einmal mit dem Finger an der Fläche entlang. Und wenn Sie eine wirklich schwierige Aufgabe lösen wollen: Versuchen Sie, eine Seite des Möbiusbandes mit einem Stift zu bemalen. Aber nur eine Seite!
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Eine Kante, eine Fläche, drei Entdecker |
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Es ist unmöglich, nur eine Seite des Möbiusbandes zu bemalen und die andere weiß zu lassen. Obwohl es unserem Gefühl widerspricht: Das Möbiusband hat nur eine Kante und eine Fläche (wie der Versuch mit dem Stift zeigt).
Im Jahre 1858 entdeckten zwei deutsche Wissenschaftler das Band mit den verqueren Eigenschaften unabhängig von einander: Johann Benedikt Listing und August Ferdinand Möbius.
In den 1930er Jahren wurde es sogar noch einmal entdeckt: Der Schweizer Künstler Max Bill dachte zuerst, er hätte mit seiner Skulptur "Unendliche Schleife" eine ganz neue geometrische Form gefunden.
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Wie man es dreht und wendet |
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Das Möbiusband gehört zur Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik - und ist gleichzeitig eine ihrer härtesten Nüsse. Schon seit 75 Jahren beschäftigte es die Mathematiker.
Dabei war es nicht die generelle Struktur, die ihnen Probleme bereitete. Die Schwierigkeit besteht darin, vorherzusagen, wie das Möbiusband sich windet, um seine Verformungsenergie zu minimieren.
So wie ein Gummiband zurückschnellt, nachdem man es gespannt hat, versucht jeder Körper, seine Verformungsenergie wieder abzugeben. Je nach Länge und Breite des Streifens nimmt das Möbiusband dabei eine andere Form an. Welche, das war für die Wissenschaftler bis jetzt ein Rätsel.
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Die Topologie (griech. topos: Ort, Platz) in der Mathematik beschäftigt sich mit den Eigenschaften von geometrischen Körpern, die durch Verformungen (Dehnen, Strecken, Zerren, etc.) nicht verändert werden. |
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Topologie bei mathematik.de |
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Mit alten Gleichungen zu neuen Ufern |
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Das Rätsel scheint gelöst: Die Mathematiker Gert van der Heijden und Eugene Starostin vom University College London schafften es als Erste, die Form des Bandes korrekt vorherzusagen. Dazu benutzten sie Gleichungen, die zwar schon vor 20 Jahren entwickelt, aber bis jetzt nicht auf das Möbius-Problem angewandt wurden - den so genannten "Variations-Bikomplex".
"Wenn man versucht, ohne diese Werkzeuge Gleichungen für die Form des Bandes zu erarbeiten, ist das eine unmögliche Aufgabe", gibt Eugene Starostin gegenüber dem Online-Dienst von Nature zu.
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"Erste praktische Anwendung" |
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Schmale Bänder haben es leichter, die Kurve zu kriegen. Je dicker das Band wird, desto eher knickt es an den Stellen, die der Belastung nicht standhalten. Das zeigen die Gleichungen von van der Heijden und Starostin.
Die Wissenschaftler wollen auch darauf aufmerksam machen, dass die vergessenen Gleichungen auch in anderen Fachgebieten fruchtbare Ergebnisse bringen könnten. "Das ist die erste praktische Anwendung dieser mathematischen Theorie", sagt Starostin.
"Experten anderer Fachrichtungen, zum Beispiel der Mechanik, wissen gar nicht, dass es sie gibt."
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Praxis vor Theorie |
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Mit dem neuen Lösungsansatz kann das Möbiusband endlich auch exakt am Computer simuliert werden. Was erstaunlich ist, denn es gibt sehr wohl schon praktische Anwendungen, die die besonderen Eigenschaften des Bandes ausnutzen.
Förderbänder und Riemengetriebe werden nach der Art des Möbiusbandes konstruiert, denn seine Form sorgt für gleichmäßige Abnutzung. Auch bei Audiokassetten kommt es zum Einsatz, um die Abspielzeit zu erhöhen.
Sogar in der Mode findet das Band Verwendung. Als Möbius-Schal - das Accessoire für den stilbewussten Nerd.
Raffael Fritz science.ORF.at, 18.7.07
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01.01.2010 |
